## 数学の問題の解答

## 数学の問題の解答

写真に写っている4つの問題を解きます。

###

1. 問題の内容

1. $(x+y+z)(x+y-z)$ を展開する。

2. $(a+2b-c)^2$ を展開する。

3. $(x+2y+2)(x+2y-3)$ を展開する。

4. $(a+2b)^2(a-2b)^2$ を展開する。

###

2. 解き方の手順

**問題1:** $(x+y+z)(x+y-z)$

$(x+y)$を一つの塊と見て、和と差の積の公式 $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$ を利用する。

$A = x+y$, $B = z$とすると、

$(x+y+z)(x+y-z) = (x+y)^2 - z^2$

$(x+y)^2$ を展開する。 $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$

よって、

$(x+y+z)(x+y-z) = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

**問題2:** $(a+2b-c)^2$

$(a+2b-c)^2 = (a+2b-c)(a+2b-c)$ を展開する。

または、$A = a+2b$とおくと、 $(A-c)^2=A^2 -2Ac + c^2 = (a+2b)^2 - 2(a+2b)c + c^2$

$(a+2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

$-2(a+2b)c = -2ac - 4bc$

よって、

$(a+2b-c)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2 - 2ac - 4bc + c^2$

**問題3:** $(x+2y+2)(x+2y-3)$

$A = x+2y$とおくと、

$(A+2)(A-3) = A^2 -3A + 2A -6 = A^2 - A - 6$

$A^2 = (x+2y)^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$

$-A = -(x+2y) = -x - 2y$

よって、

$(x+2y+2)(x+2y-3) = x^2 + 4xy + 4y^2 - x - 2y - 6$

**問題4:** $(a+2b)^2(a-2b)^2$

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = ((a+2b)(a-2b))^2$

$(a+2b)(a-2b)$ は和と差の積なので、 $a^2 - (2b)^2 = a^2 - 4b^2$

よって、

$(a+2b)^2(a-2b)^2 = (a^2 - 4b^2)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(4b^2) + (4b^2)^2 = a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$

###

3. 最終的な答え

1. $x^2 + 2xy + y^2 - z^2$

2. $a^2 + 4ab + 4b^2 - 2ac - 4bc + c^2$

3. $x^2 + 4xy + 4y^2 - x - 2y - 6$

4. $a^4 - 8a^2b^2 + 16b^4$