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与えられた関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3,4)$ における接線の方程式を求める。

解析学微分接線導関数グラフ
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた関数 y=−3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 のグラフ上の点 (3,4)(3,4) における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数の導関数を求める。
y=−3x2+8x+7y = -3x^2 + 8x + 7 を xx で微分すると、
y′=−6x+8y' = -6x + 8
次に、x=3x = 3 における導関数の値を求める。これは、点 (3,4)(3,4) における接線の傾きを表す。
y′(3)=−6(3)+8=−18+8=−10y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10
したがって、接線の傾きは −10-10 である。
次に、点 (3,4)(3,4) を通り、傾きが −10-10 の直線の方程式を求める。点傾きの公式を用いると、
y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
ここで、(x1,y1)=(3,4)(x_1, y_1) = (3, 4) であり、m=−10m = -10 であるので、
y−4=−10(x−3)y - 4 = -10(x - 3)
y−4=−10x+30y - 4 = -10x + 30
y=−10x+34y = -10x + 34

3. 最終的な答え

y=−10x+34y = -10x + 34

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