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関数 $y = -2x^2 + 9x + 17$ のグラフ上の点 $(6, -1)$ における接線の方程式を求めます。

解析学微分接線導関数二次関数
2025/4/7

1. 問題の内容

関数 y=−2x2+9x+17y = -2x^2 + 9x + 17 のグラフ上の点 (6,−1)(6, -1) における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

1. まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

y=−2x2+9x+17y = -2x^2 + 9x + 17
y′=−4x+9y' = -4x + 9

2. 次に、点 $(6, -1)$ における接線の傾きを求めます。これは、導関数 $y'$ に $x = 6$ を代入することで得られます。

y′(6)=−4(6)+9=−24+9=−15y'(6) = -4(6) + 9 = -24 + 9 = -15

3. 接線の傾きが $-15$ で、点 $(6, -1)$ を通る直線の方程式を求めます。点傾斜形の方程式を利用します。

y−y1=m(x−x1)y - y_1 = m(x - x_1)
ここで、m=−15m = -15、x1=6x_1 = 6、y1=−1y_1 = -1 なので、
y−(−1)=−15(x−6)y - (-1) = -15(x - 6)
y+1=−15x+90y + 1 = -15x + 90
y=−15x+90−1y = -15x + 90 - 1
y=−15x+89y = -15x + 89

3. 最終的な答え

y=−15x+89y = -15x + 89

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