関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ のグラフ上の点 $(-6, 15)$ における接線の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = -x^2 - 7x + 9$ を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{dy}{dx} = -2x - 7$

次に、点 $(-6, 15)$ における接線の傾きを求めるために、$y'$ に $x = -6$ を代入します。

$y'(-6) = -2(-6) - 7 = 12 - 7 = 5$

したがって、接線の傾きは $5$ です。

次に、点 $(-6, 15)$ を通り、傾きが $5$ の直線の方程式を求めます。

点傾斜形の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を使用します。ここで、$x_1 = -6$, $y_1 = 15$, $m = 5$ です。

$y - 15 = 5(x - (-6))$

$y - 15 = 5(x + 6)$

$y - 15 = 5x + 30$

$y = 5x + 30 + 15$

$y = 5x + 45$

3. 最終的な答え

$y = 5x + 45$