四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求めよ。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$AB = 1 + \sqrt{3}$, $BC = 2$, $DA = 2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、三角形ABCに着目し、余弦定理を用いてACの長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$

$AC^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot (1+\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$

$AC^2 = (1 + 2\sqrt{3} + 3) + 4 - 4(1+\sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2(1+\sqrt{3})$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

$AC = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

対角線 ACの長さは $\sqrt{6}$ である。