四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、三角形MBCの重心をGとする。直線OGと平面ABCの交点をPとするとき、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{OP}$を表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、三角形MBCの重心をGとする。直線OGと平面ABCの交点をPとするとき、$\vec{OA} = \vec{a}$、$\vec{OB} = \vec{b}$、$\vec{OC} = \vec{c}$を用いて、$\vec{OP}$を表す。

2. 解き方の手順

まず、点Mが辺OAの中点であることから、$\vec{OM}$を$\vec{a}$を用いて表す。

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{a}$

次に、点Gが三角形MBCの重心であることから、$\vec{OG}$を$\vec{OM}$、$\vec{OB}$、$\vec{OC}$を用いて表す。

$\vec{OG} = \frac{\vec{OM} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

点Pは直線OG上にあるので、実数kを用いて$\vec{OP}$を$\vec{OG}$で表すことができる。

$\vec{OP} = k\vec{OG} = k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$

また、点Pは平面ABC上にあるので、実数s, tを用いて$\vec{AP}$を$\vec{AB}$、$\vec{AC}$で表すことができる。

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + s\vec{AB} + t\vec{AC} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{OP}$の2つの表現より、

$\frac{k}{6}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c} = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$

$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$は一次独立なので、各係数を比較して、

$\frac{k}{6} = 1 - s - t$

$\frac{k}{3} = s$

$\frac{k}{3} = t$

これらを解いてkを求める。

$\frac{k}{6} = 1 - \frac{k}{3} - \frac{k}{3}$

$\frac{k}{6} = 1 - \frac{2k}{3}$

$k = 6 - 4k$

$5k = 6$

$k = \frac{6}{5}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{6}{5}(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$