2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられた条件を満たすような $a$ の値の範囲を求める問題です。 (1) 2解がともに1より大きい。 (2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。 (3) 2解がともに0と3の間にある。 (4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 4 = 0$ が与えられた条件を満たすような $a$ の値の範囲を求める問題です。

(1) 2解がともに1より大きい。

(2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。

(3) 2解がともに0と3の間にある。

(4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 4$ とおきます。

(1) 2解がともに1より大きい。

この条件が成り立つためには、次の3つの条件が必要です。

(i) 判別式 $D \geq 0$

(ii) 軸 $a > 1$

(iii) $f(1) > 0$

(i) $D = (-2a)^2 - 4(1)(4) = 4a^2 - 16 \geq 0$

$a^2 \geq 4$

$a \leq -2$ または $a \geq 2$

(ii) 軸は $x = a$ より、 $a > 1$

(iii) $f(1) = 1^2 - 2a(1) + 4 = 5 - 2a > 0$

$2a < 5$

$a < \frac{5}{2}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は、 $2 \leq a < \frac{5}{2}$

(2) 1つの解が1より大きく、他の解が1より小さい。

この条件が成り立つためには、$f(1) < 0$ であればよい。

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + 4 = 5 - 2a < 0$

$2a > 5$

$a > \frac{5}{2}$

(3) 2解がともに0と3の間にある。

この条件が成り立つためには、次の3つの条件が必要です。

(i) 判別式 $D \geq 0$

(ii) $0 < a < 3$ (軸)

(iii) $f(0) > 0$ かつ $f(3) > 0$

(i) $D = 4a^2 - 16 \geq 0$

$a \leq -2$ または $a \geq 2$

(ii) $0 < a < 3$

(iii) $f(0) = 0^2 - 2a(0) + 4 = 4 > 0$

$f(3) = 3^2 - 2a(3) + 4 = 9 - 6a + 4 = 13 - 6a > 0$

$6a < 13$

$a < \frac{13}{6}$

(i), (ii), (iii) を満たす $a$ の範囲は、$2 \leq a < \frac{13}{6}$

(4) 2解が0と2の間と2と4の間に1つずつある。

この条件が成り立つためには、$f(0) > 0$, $f(2) < 0$, $f(4) > 0$ であればよい。

$f(0) = 4 > 0$

$f(2) = 2^2 - 2a(2) + 4 = 4 - 4a + 4 = 8 - 4a < 0$

$4a > 8$

$a > 2$

$f(4) = 4^2 - 2a(4) + 4 = 16 - 8a + 4 = 20 - 8a > 0$

$8a < 20$

$a < \frac{20}{8} = \frac{5}{2}$

したがって、$2 < a < \frac{5}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $2 \leq a < \frac{5}{2}$

(2) $a > \frac{5}{2}$

(3) $2 \leq a < \frac{13}{6}$

(4) $2 < a < \frac{5}{2}$