与えられた不定積分 $ \int 3x^2 dx $ を計算しなさい。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int 3x^2 dx$ を計算しなさい。

2. 解き方の手順

不定積分の公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$C$は積分定数) を用います。

まず、定数倍の性質より、積分記号の外に出します。

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx$

次に、$x^2$の積分を行います。$n=2$なので、

$\int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C$

したがって、

$3 \int x^2 dx = 3 (\frac{x^3}{3} + C) = x^3 + 3C$

積分定数は任意なので、$3C$も積分定数として$C$で表すことができます。

3. 最終的な答え

$x^3 + C$