円の中に線分が引かれており、$x$ の長さを求める問題です。円の中心をOとし、点Oから円周上の点までの長さが4です。円周上の点から、長さ$x$の線分、長さ2の線分、長さ4の線分が繋がっています。

1. 問題の内容

円の中に線分が引かれており、$x$ の長さを求める問題です。円の中心をOとし、点Oから円周上の点までの長さが4です。円周上の点から、長さ$x$の線分、長さ2の線分、長さ4の線分が繋がっています。

2. 解き方の手順

円の性質を利用します。円の中心Oから円周上の点までの長さは半径なので、すべて等しく4です。また、方べきの定理を利用します。

方べきの定理とは、円の内部の点を通る2本の弦について、点から弦の両端までの距離の積は一定であるという定理です。

図において、点Aから円に2本の直線を引き、それぞれの直線が円と交わる点をB, C, D, Eとすると、以下の関係が成り立ちます。

$AB \cdot AC = AD \cdot AE$

今回の問題に当てはめると、点Aから円に2本の直線が引かれており、それぞれの直線が円と交わる点がB, C, D, Eとすると、

$x \cdot (x+2) = (4-4)(4+4)$

ただし、この式では、xと2で区切られた線分が、Oを通る直線でないため、この式は誤りです。

方べきの定理より

$x(x+2) = (4-4)(4+4)$

これは成立しません。

円の半径は4なので、円周上の点から中心Oまでの長さは4です。よって、左下の円周上の点から中心Oまでの長さも4です。

点Aから2本の線分が引かれており、それぞれが円と交わるところをB, C, D, Eとすると、

$AB=x$

$AC=x+2$

$AD = 0$

$AE = 8$

$x(x+2)=4 \times 4$

$x^2 + 2x = 16$

$x^2 + 2x - 16 = 0$

解の公式を使うと

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-16)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4+64}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{17}}{2} = -1 \pm \sqrt{17}$

$x$ は長さなので正である必要があるので、$x = -1 + \sqrt{17}$

3. 最終的な答え

$x = \sqrt{17} - 1$