次の不定積分を求めます。 $\int (5x^2 + 2x + 1) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。

$\int (5x^2 + 2x + 1) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。

まず、$5x^2$ の積分は、

$\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{5}{3}x^3 + C_1$

次に、$2x$ の積分は、

$\int 2x dx = 2 \int x dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = x^2 + C_2$

最後に、$1$ の積分は、

$\int 1 dx = x + C_3$

したがって、全体の積分は

$\int (5x^2 + 2x + 1) dx = \frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C_1 + C_2 + C_3$

積分定数 $C = C_1 + C_2 + C_3$ とすると、

$\int (5x^2 + 2x + 1) dx = \frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 + x^2 + x + C$