三角形ABCの外心Oが与えられています。$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ABO = 48^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOを延長した線と線分ACの交点です。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられています。$\angle BAC = 63^\circ$、$\angle ABO = 48^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。ここで、点Pは線分BOを延長した線と線分ACの交点です。

2. 解き方の手順

外心の性質として、外心から各頂点までの距離は等しい、つまり、$OA = OB = OC$です。

$\triangle OAB$は$OA = OB$の二等辺三角形なので、$\angle BAO = \angle ABO = 48^\circ$です。

$\angle OAC = \angle BAC - \angle BAO = 63^\circ - 48^\circ = 15^\circ$です。

同様に、$\triangle OAC$は$OA = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 15^\circ$です。

$\angle ACB = \angle OCA + \angle OCB$となります。また$\triangle OBC$は$OB=OC$の二等辺三角形なので$\angle OBC=\angle OCB$です。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 48^\circ + \angle OBC$です。

$\triangle ABC$の内角の和は$180^\circ$なので、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ$

$63^\circ + (48^\circ + \angle OBC) + (15^\circ + \angle OBC) = 180^\circ$

$126^\circ + 2\angle OBC = 180^\circ$

$2\angle OBC = 54^\circ$

$\angle OBC = 27^\circ$

したがって、$\angle ACB = 15^\circ + 27^\circ = 42^\circ$です。

$\angle BOC$は$\angle BAC$の中心角なので、$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \times 63^\circ = 126^\circ$です。

$\angle OBC = \angle OCB = 27^\circ$なので、$\triangle OBC$において$\angle OBC+\angle OCB+\angle BOC=27^\circ+27^\circ+\angle BOC=180^\circ$となり、$\angle BOC=126^\circ$となります。

三角形の内角の和の公式より、$\angle P$は$\triangle BPC$の外角であるため、$\angle P = \angle PBC + \angle PCB = \angle OBC + \angle ACB = 27^\circ + 42^\circ = 69^\circ$です。

3. 最終的な答え

69