三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle ABO = 50^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Oは外心であり、$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle ABO = 50^\circ$のとき、$\angle P$の大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形の性質と外心の性質を利用して、$\angle ABC$と$\angle ACB$の角度を求めます。次に、$\angle BOC$を求め、最後に$\angle P$を求めます。

ステップ1: $\angle ABC$を求める。

$\angle ABO = 50^\circ$より、$\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO$となります。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 50^\circ + \angle OBC$

ステップ2: $\angle ACB$を求める。

$\angle BAC = 70^\circ$

三角形の内角の和は$180^\circ$なので、$\angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$となります。

ステップ3: $\angle BOC$を求める。

外心Oは各頂点から等距離にあるため、$OB = OC$となります。したがって、三角形OBCは二等辺三角形であり、$\angle OBC = \angle OCB$です。

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 70^\circ = 140^\circ$

三角形OBCにおいて、

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$\angle OBC + \angle OCB = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$

$\angle OBC = \angle OCB = 20^\circ$

ステップ4: $\angle ABC$と$\angle ACB$を求める。

$\angle ABC = \angle ABO + \angle OBC = 50^\circ + 20^\circ = 70^\circ$

$\angle ACB = 110^\circ - \angle ABC = 110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$

ステップ5: $\angle P$を求める。

$\angle OCB = 20^\circ$

$\angle P$は、三角形OPCの外角であるため、$\angle OPC = \angle OCB + \angle BOC/2$

$\angle P = \angle OPC = \angle ACB/2 = 40^\circ/2 = 20^\circ$

あるいは、

点Oは外心なので、$OB=OC$。よって、$\triangle OBC$は二等辺三角形。

$\angle OBC = \angle OCB = 20^\circ$

$\angle P = 90^\circ - \angle OBC = 90^\circ - 20^\circ = 70^\circ$

3. 最終的な答え

3. 最終的な答え

$\angle P = 20^\circ$

$\angle P = 20$