点Oが三角形ABCの外心であり、$∠BAC = 50°$、$∠ABO = 40°$であるとき、$∠BOC$の半分である$∠P$を求める問題です。

1. 問題の内容

点Oが三角形ABCの外心であり、$∠BAC = 50°$、$∠ABO = 40°$であるとき、$∠BOC$の半分である$∠P$を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、外心の性質より、OA = OB = OCです。

したがって、三角形OABは二等辺三角形です。

$∠ABO = ∠BAO = 40°$なので、$∠AOB$は

$∠AOB = 180° - (40° + 40°) = 100°$

となります。

次に、三角形OACも二等辺三角形です。$∠BAC = 50°$なので、$∠OAC = 50° - 40° = 10°$

$∠OCA = ∠OAC = 10°$なので、$∠AOC$は

$∠AOC = 180° - (10° + 10°) = 160°$

となります。

したがって、$∠BOC$は

$∠BOC = 360° - (∠AOB + ∠AOC) = 360° - (100° + 160°) = 360° - 260° = 100°$

となります。

外心の性質として、$∠BOC = 2∠BAC$が成り立つので、

$∠BOC = 2 \times 50° = 100°$

と計算することもできます。

∠BPCは∠BOCの半分に相当するので

∠BPC = $\frac{1}{2}$∠BOC = $\frac{1}{2} \times 100° = 50°$

3. 最終的な答え

∠P = 50°