三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle OAC = 20^\circ$、$\angle OCB = 35^\circ$である。$\angle x$、つまり$\angle OBC$の大きさを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCの外心Oが与えられており、$\angle OAC = 20^\circ$、$\angle OCB = 35^\circ$である。$\angle x$、つまり$\angle OBC$の大きさを求める。

2. 解き方の手順

外心は三角形の各頂点からの距離が等しい点である。したがって、$OA = OB = OC$が成り立つ。

* 三角形OACは$OA = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OCA = \angle OAC = 20^\circ$。

* 三角形OBCは$OB = OC$の二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = x$。

* 三角形OABは$OA = OB$の二等辺三角形なので、$\angle OBA = \angle OAB = y$ (ここではまだ$y$の値は不明)。

* 三角形ABCの内角の和は180度であるから、

$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$

$(20^\circ + y) + (x + y) + (35^\circ + 20^\circ) = 180^\circ$

$20^\circ + y + x + y + 35^\circ + 20^\circ = 180^\circ$

$x + 2y = 180^\circ - 20^\circ - 35^\circ - 20^\circ = 105^\circ$

$\angle OBA = y$ より、$y = x$ でなければならない。

* 外心の性質として、 $\angle AOB = 2 \angle ACB$ 。

$\angle ACB = 35^\circ + 20^\circ = 55^\circ$ なので、$\angle AOB = 2 * 55^\circ = 110^\circ$

また、$\angle AOB$は二等辺三角形OABで、$OA=OB$より、$\angle OAB=\angle OBA$ なので、

$180^\circ = 110^\circ + 2*y$

$2y = 70^\circ$

$y = 35^\circ$

三角形ABCの内角の和の式に戻り、$y = 35^\circ$ を代入すると、$x + 2*35^\circ = 105^\circ$

$x = 105^\circ - 70^\circ = 35^\circ$

3. 最終的な答え

35°