次の不定積分を求める問題です。 $\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求める問題です。

$\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx$

2. 解き方の手順

不定積分は、各項ごとに積分し、最後に積分定数 $C$ を加えます。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$)

この公式を利用して、各項を積分します。

$\int -7x^4 dx = -7 \int x^4 dx = -7 \cdot \frac{x^5}{5} = -\frac{7}{5}x^5$

$\int -5x^3 dx = -5 \int x^3 dx = -5 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{5}{4}x^4$

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$

$\int -7x dx = -7 \int x dx = -7 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{7}{2}x^2$

$\int 1 dx = x$

したがって、

$\int (-7x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 7x + 1) dx = -\frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + x^3 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{7}{5}x^5 - \frac{5}{4}x^4 + x^3 - \frac{7}{2}x^2 + x + C$