$a \geq 1$とし、$x$の関数$f(x) = e^{-x}\{x^2 - (a-3)x - (2a-3)\}$を考える。以下の問題を解く。 (1) $\lim_{x \to \infty} f(x)$と$\lim_{x \to -\infty} f(x)$を求めよ。 (2) $f(x)$の最小値を求めよ。 (3) $k$を正の実数とするとき、方程式$f(x) = k$の異なる実数解の個数を求めよ。 (4) 不定積分$\int xe^{-x} dx$と$\int x^2e^{-x} dx$を求めよ。 (5) $\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} f(x) dx = 0$を満たすように$a$の値を定めよ。

1. 問題の内容

$a \geq 1$とし、$x$の関数$f(x) = e^{-x}\{x^2 - (a-3)x - (2a-3)\}$を考える。以下の問題を解く。

(1) $\lim_{x \to \infty} f(x)$と$\lim_{x \to -\infty} f(x)$を求めよ。

(2) $f(x)$の最小値を求めよ。

(3) $k$を正の実数とするとき、方程式$f(x) = k$の異なる実数解の個数を求めよ。

(4) 不定積分$\int xe^{-x} dx$と$\int x^2e^{-x} dx$を求めよ。

(5) $\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} f(x) dx = 0$を満たすように$a$の値を定めよ。

2. 解き方の手順

(1) 極限を求める

$\lim_{x \to \infty} f(x)$について、

$\lim_{x \to \infty} x^2e^{-x} = 0$が与えられているので、

$\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} e^{-x}\{x^2 - (a-3)x - (2a-3)\} = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x)$について、

$x \to -\infty$のとき、$e^{-x} \to \infty$であり、$x^2 - (a-3)x - (2a-3) \to \infty$であるから、

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$

(2) 最小値を求める

$f'(x) = -e^{-x}\{x^2 - (a-3)x - (2a-3)\} + e^{-x}\{2x - (a-3)\}$

$= e^{-x}\{-x^2 + (a-3)x + (2a-3) + 2x - a + 3\}$

$= e^{-x}\{-x^2 + (a-1)x + a\}$

$f'(x) = 0$となるのは、$-x^2 + (a-1)x + a = 0$のとき。

$x^2 - (a-1)x - a = 0$

$(x-a)(x+1) = 0$

$x=a$または$x=-1$

$f(a) = e^{-a}\{a^2 - (a-3)a - (2a-3)\} = e^{-a}\{a^2 - a^2 + 3a - 2a + 3\} = e^{-a}(a+3)$

$f(-1) = e^{1}\{1 + (a-3) - (2a-3)\} = e\{1 + a - 3 - 2a + 3\} = e(-a + 1)$

$a \geq 1$なので、$f(-1) = e(1-a) \leq 0$

$a \geq 1$なので、$f(a) = e^{-a}(a+3) > 0$

$f'(x)$の符号を調べると、$x<-1$で$f'(x)<0$, $-1<x<a$で$f'(x)>0$, $x>a$で$f'(x)<0$となる。

したがって、$x=-1$で極小値$e(1-a)$をとり、$x=a$で極大値$e^{-a}(a+3)$をとる。

$f(x)$の最小値は$e(1-a)$

(3) 解の個数を求める

$f(x) = k$の解の個数を求める。$k>0$とする。

$f(x)$は$x=-1$で極小値$e(1-a)$をとり、$x=a$で極大値$e^{-a}(a+3)$をとる。

$f(x) \to 0$ as $x \to \infty$, $f(x) \to \infty$ as $x \to -\infty$.

$e(1-a) \leq 0 < k$ なので、$f(x)=k$は常に解を持つ。

$e^{-a}(a+3) > 0$なので、$k$の値によって解の個数は変わる。

$k > e^{-a}(a+3)$のとき、解は1個

$k = e^{-a}(a+3)$のとき、解は2個

$e(1-a) < k < e^{-a}(a+3)$のとき、解は3個

$k = e(1-a)$のとき、解は2個

$k < e(1-a)$のとき、解は1個

(4) 不定積分を求める

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - \int -e^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C_1$

$\int x^2e^{-x} dx = -x^2e^{-x} - \int -2xe^{-x} dx = -x^2e^{-x} + 2\int xe^{-x} dx = -x^2e^{-x} + 2(-xe^{-x} - e^{-x}) + C_2 = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C_2$

(5) $a$の値を定める

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} f(x) dx = 0$

$\int_{0}^{b} f(x) dx = \int_{0}^{b} e^{-x}\{x^2 - (a-3)x - (2a-3)\} dx$

$= \int_{0}^{b} x^2e^{-x}dx - (a-3)\int_{0}^{b} xe^{-x}dx - (2a-3)\int_{0}^{b} e^{-x}dx$

$= [-x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x}]_{0}^{b} - (a-3)[-xe^{-x} - e^{-x}]_{0}^{b} - (2a-3)[-e^{-x}]_{0}^{b}$

$= [-b^2e^{-b} - 2be^{-b} - 2e^{-b} + 2] - (a-3)[-be^{-b} - e^{-b} + 1] - (2a-3)[-e^{-b} + 1]$

$\lim_{b \to \infty} \int_{0}^{b} f(x) dx = [0 - 0 - 0 + 2] - (a-3)[0 - 0 + 1] - (2a-3)[0 + 1]$

$= 2 - (a-3) - (2a-3) = 2 - a + 3 - 2a + 3 = 8 - 3a$

$8 - 3a = 0$

$3a = 8$

$a = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$

$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$

(2)

$e(1-a)$

(3)

$k > e^{-a}(a+3)$のとき、解は1個

$k = e^{-a}(a+3)$のとき、解は2個

$e(1-a) < k < e^{-a}(a+3)$のとき、解は3個

$k = e(1-a)$のとき、解は2個

$k < e(1-a)$のとき、解は1個

(4)

$\int xe^{-x} dx = -xe^{-x} - e^{-x} + C_1$

$\int x^2e^{-x} dx = -x^2e^{-x} - 2xe^{-x} - 2e^{-x} + C_2$

(5)

$a = \frac{8}{3}$