与えられた多項式の不定積分を求める問題です。 積分する関数は $12x^3 - 9x^2 + 6x - 4$ です。つまり、 $\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4)dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた多項式の不定積分を求める問題です。

積分する関数は $12x^3 - 9x^2 + 6x - 4$ です。つまり、

$\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4)dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

多項式の不定積分は、各項ごとに積分を行い、最後に積分定数 $C$ を加えることで求められます。

各項の積分は、次の公式を使います。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

まず、各項を個別に積分します。

$\int 12x^3 dx = 12 \int x^3 dx = 12 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 12 \cdot \frac{x^4}{4} = 3x^4$

$\int -9x^2 dx = -9 \int x^2 dx = -9 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = -9 \cdot \frac{x^3}{3} = -3x^3$

$\int 6x dx = 6 \int x dx = 6 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 6 \cdot \frac{x^2}{2} = 3x^2$

$\int -4 dx = -4 \int 1 dx = -4x$

これらの積分をすべて足し合わせ、積分定数 $C$ を加えると、不定積分が得られます。

$\int (12x^3 - 9x^2 + 6x - 4)dx = 3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C$

3. 最終的な答え

$3x^4 - 3x^3 + 3x^2 - 4x + C$