次の不定積分を求めよ。ただし、$t$は$x$に関係ない。 $\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。ただし、$t$は$x$に関係ない。

$\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算します。積分は線形性を持つので、各項ごとに積分できます。

$\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx = \int 5x^2 dx - \int 3x dx + \int (t^2 - 2t) dx$

まず、$5x^2$の積分は、

$\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3$

次に、$3x$の積分は、

$\int 3x dx = 3 \int x dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{3}{2}x^2$

最後に、$t^2 - 2t$は$x$に関係ない定数なので、

$\int (t^2 - 2t) dx = (t^2 - 2t) \int 1 dx = (t^2 - 2t)x$

これらを組み合わせると、

$\int (5x^2 - 3x + t^2 - 2t) dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + (t^2 - 2t)x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + (t^2 - 2t)x + C$