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関数 $y = -x^2 + 5x + 1$ において、$x$ の値が $a$ から $a+h$ まで変化するときの平均変化率を求めます。

代数学二次関数平均変化率関数の変化
2025/4/7

1. 問題の内容

関数 y=−x2+5x+1y = -x^2 + 5x + 1 において、xx の値が aa から a+ha+h まで変化するときの平均変化率を求めます。

2. 解き方の手順

平均変化率は、yの変化量xの変化量\frac{yの変化量}{xの変化量} で求められます。
xx の変化量は (a+h)−a=h(a+h) - a = h です。
yy の変化量は、 x=a+hx=a+h のときの yy の値から x=ax=a のときの yy の値を引いたものです。
x=ax=a のとき y=−a2+5a+1y = -a^2 + 5a + 1 です。
x=a+hx=a+h のとき y=−(a+h)2+5(a+h)+1=−(a2+2ah+h2)+5a+5h+1=−a2−2ah−h2+5a+5h+1y = -(a+h)^2 + 5(a+h) + 1 = -(a^2 + 2ah + h^2) + 5a + 5h + 1 = -a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1 です。
したがって、yy の変化量は (−a2−2ah−h2+5a+5h+1)−(−a2+5a+1)=−2ah−h2+5h(-a^2 - 2ah - h^2 + 5a + 5h + 1) - (-a^2 + 5a + 1) = -2ah - h^2 + 5h です。
平均変化率は、−2ah−h2+5hh=h(−2a−h+5)h=−2a−h+5\frac{-2ah - h^2 + 5h}{h} = \frac{h(-2a - h + 5)}{h} = -2a - h + 5 となります。

3. 最終的な答え

−2a−h+5-2a - h + 5

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