正の整数 $a, b$ について、$a < b$ であり、$a$ と $b$ の最大公約数が $30$、最小公倍数が $1800$ であるような、$a, b$ の組は何組あるか。

1. 問題の内容

正の整数 $a, b$ について、$a < b$ であり、$a$ と $b$ の最大公約数が $30$、最小公倍数が $1800$ であるような、$a, b$ の組は何組あるか。

2. 解き方の手順

$a$ と $b$ の最大公約数を $g$、最小公倍数を $l$ とすると、$a = gx, b = gy$ （$x, y$ は互いに素な正の整数）と表せる。

また、$l = gxy$ が成り立つ。

問題より、$g = 30, l = 1800$ であるから、

$30xy = 1800$

$xy = \frac{1800}{30} = 60$

$x, y$ は互いに素な正の整数であり、$a < b$ より $x < y$ であるから、$xy = 60$ となる $x, y$ の組み合わせを探す。

$60 = 2^2 \times 3 \times 5$ であるから、$60$ の約数の組み合わせを考える。

考えられる $x, y$ の組み合わせは以下の通り：

(1) $x = 1, y = 60$

(2) $x = 3, y = 20$

(3) $x = 4, y = 15$

(4) $x = 5, y = 12$

$x$ と $y$ が互いに素であるか確認する。

(1) $x = 1, y = 60$ (互いに素)

(2) $x = 3, y = 20$ (互いに素)

(3) $x = 4, y = 15$ (互いに素)

(4) $x = 5, y = 12$ (互いに素)

上記の組み合わせはすべて互いに素である。

$a = 30x, b = 30y$ より、$a$ と $b$ の組は

(1) $a = 30 \times 1 = 30, b = 30 \times 60 = 1800$

(2) $a = 30 \times 3 = 90, b = 30 \times 20 = 600$

(3) $a = 30 \times 4 = 120, b = 30 \times 15 = 450$

(4) $a = 30 \times 5 = 150, b = 30 \times 12 = 360$

したがって、条件を満たす $a, b$ の組は4組ある。

3. 最終的な答え

4組