次の不定積分を求めよ。$\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx$ ただし、$t$は定数とする。

1. 問題の内容

次の不定積分を求めよ。$\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx$ ただし、$t$は定数とする。

2. 解き方の手順

不定積分を計算するには、各項を個別に積分し、最後に積分定数 $C$ を加えます。

- $5x^2$ の積分: $\int 5x^2 dx = 5 \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{5}{3}x^3$

- $-3x$ の積分: $\int -3x dx = -3 \int x dx = -3 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{3}{2}x^2$

- $t^3$ の積分: $\int t^3 dx = t^3 \int 1 dx = t^3x$

- $-2t$ の積分: $\int -2t dx = -2t \int 1 dx = -2tx$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (5x^2 - 3x + t^3 - 2t) dx = \frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + t^3x - 2tx + C$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + t^3x - 2tx + C$