関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に基づいて求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に基づいて求めます。

2. 解き方の手順

微分係数の定義式は、

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

です。

この問題では、$a=2$なので、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(2+h) - f(2)}{h}$

となります。

関数 $f(x)=\frac{1}{x}$ を代入すると、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2+h} - \frac{1}{2}}{h}$

となります。

分子を通分して計算すると、

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 - (2+h)}{2(2+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{-h}{2(2+h)}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-h}{2h(2+h)} = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{2(2+h)}$

となります。

$h \to 0$の極限を取ると、

$f'(2) = \frac{-1}{2(2+0)} = \frac{-1}{4}$

となります。

3. 最終的な答え

$f'(2) = -\frac{1}{4}$