与えられた式は、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に基づいて計算するものです。具体的には、極限 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2}$ を計算します。ここで、$f(x) = \frac{1}{x}$ なので、$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2}$ を計算することになります。

1. 問題の内容

与えられた式は、関数 $f(x) = \frac{1}{x}$ の $x=2$ における微分係数 $f'(2)$ を定義に基づいて計算するものです。具体的には、極限 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - f(2)}{x-2}$ を計算します。ここで、$f(x) = \frac{1}{x}$ なので、$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{2}}{x-2}$ を計算することになります。

2. 解き方の手順

まず、分子の $\frac{1}{x} - \frac{1}{2}$ を通分します。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{2} = \frac{2 - x}{2x}$

したがって、式は次のようになります。

$\lim_{x \to 2} \frac{\frac{2-x}{2x}}{x-2}$

次に、分母を整理します。

$\lim_{x \to 2} \frac{2-x}{2x(x-2)}$

ここで、$2-x = -(x-2)$ であることに注意すると、式は次のようになります。

$\lim_{x \to 2} \frac{-(x-2)}{2x(x-2)}$

$x \neq 2$ のとき、$x-2 \neq 0$ なので、$x-2$ で約分できます。

$\lim_{x \to 2} \frac{-1}{2x}$

最後に、$x \to 2$ の極限をとります。

$\frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$f'(2) = -\frac{1}{4}$