与えられた積分 $\int \sqrt{x} (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \sqrt{x} (1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の $(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^2$ を展開します。

$(1 + \frac{1}{\sqrt{x}})^2 = 1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}$

次に、$\sqrt{x}$ を分配法則で展開します。

$\sqrt{x} (1 + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x}) = \sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}$

よって、積分は以下のようになります。

$\int (\sqrt{x} + 2 + \frac{1}{\sqrt{x}}) dx$

これは、$\int (x^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{-\frac{1}{2}}) dx$ と書き直せます。

各項を積分します。

$\int x^{\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C_1 = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_1$

$\int 2 dx = 2x + C_2$

$\int x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_3 = 2 x^{\frac{1}{2}} + C_3$

したがって、積分の結果は以下のようになります。

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2x + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

$x^{\frac{3}{2}} = x\sqrt{x}$、$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$ なので、

$\frac{2}{3} x\sqrt{x} + 2x + 2\sqrt{x} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} x\sqrt{x} + 2x + 2\sqrt{x} + C$