問題は、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ をすべて求めることです。

1. 問題の内容

問題は、$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$ を満たす自然数の組 $(x, y)$ をすべて求めることです。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式を変形します。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{4}$

両辺に $4xy$ をかけると：

$4y - 4x = xy$

移項して：

$xy + 4x - 4y = 0$

ここで、因数分解を試みます。両辺に16を加えると：

$xy + 4x - 4y - 16 = -16$

$(x - 4)(y + 4) = -16$

$y$は自然数なので、$y+4$ は 5以上の自然数です。

したがって、$x-4$ は負の整数である必要があります。

ここで、$x - 4$ と $y + 4$ の組み合わせを考えます。

$(x-4)(y+4) = -16$ であり、$y+4 \ge 5$ なので、考えられる組み合わせは、以下の通りです。

* $x-4 = -1$, $y+4 = 16$

* $x-4 = -2$, $y+4 = 8$

これらの組み合わせから、$x$と$y$の値を求めます。

* $x - 4 = -1$ のとき、$x = 3$。$y + 4 = 16$ より、$y = 12$。したがって、$(x, y) = (3, 12)$

* $x - 4 = -2$ のとき、$x = 2$。$y + 4 = 8$ より、$y = 4$。したがって、$(x, y) = (2, 4)$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{4}$を満たす自然数の組 $(x, y)$ は、$(3, 12)$ と $(2, 4)$ です。

答え: $(x, y) = (3, 12), (2, 4)$