$m$と$n$が自然数のとき、方程式 $mn + 5m + 6n = 33$ を満たす $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ を全て求めよ。

1. 問題の内容

$m$と$n$が自然数のとき、方程式 $mn + 5m + 6n = 33$ を満たす $m$ と $n$ の組 $(m, n)$ を全て求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた方程式を $mn + 5m + 6n = 33$ とします。この式を因数分解できるように変形します。

$mn + 5m + 6n + 30 = 33 + 30$

$m(n + 5) + 6(n + 5) = 63$

$(m + 6)(n + 5) = 63$

$m$と$n$は自然数なので、$m + 6$と$n + 5$も自然数です。

$63$を自然数の積に分解すると、以下の組み合わせが考えられます。

$63 = 1 \times 63 = 3 \times 21 = 7 \times 9 = 9 \times 7 = 21 \times 3 = 63 \times 1$

それぞれの組み合わせに対して、$m$と$n$の値を求めます。

* $m + 6 = 1, n + 5 = 63$ のとき、$m = -5, n = 58$

$m$が自然数ではないので不適。

* $m + 6 = 3, n + 5 = 21$ のとき、$m = -3, n = 16$

$m$が自然数ではないので不適。

* $m + 6 = 7, n + 5 = 9$ のとき、$m = 1, n = 4$

* $m + 6 = 9, n + 5 = 7$ のとき、$m = 3, n = 2$

* $m + 6 = 21, n + 5 = 3$ のとき、$m = 15, n = -2$

$n$が自然数ではないので不適。

* $m + 6 = 63, n + 5 = 1$ のとき、$m = 57, n = -4$

$n$が自然数ではないので不適。

したがって、$m$と$n$が自然数となる組み合わせは $(m, n) = (1, 4), (3, 2)$ のみです。

3. 最終的な答え

$(m, n) = (1, 4), (3, 2)$