SENSEI AI
About App

与えられた導関数 $F'(x) = -9x^2 + 4x - 1$ と初期条件 $F(1) = 5$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分導関数初期条件不定積分
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた導関数 F′(x)=−9x2+4x−1F'(x) = -9x^2 + 4x - 1 と初期条件 F(1)=5F(1) = 5 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。次に、初期条件 F(1)=5F(1) = 5 を用いて積分定数を決定します。
ステップ1: F′(x)F'(x) を積分する
F′(x)=−9x2+4x−1F'(x) = -9x^2 + 4x - 1 を積分すると、
F(x)=∫(−9x2+4x−1)dx=−3x3+2x2−x+CF(x) = \int (-9x^2 + 4x - 1) dx = -3x^3 + 2x^2 - x + C
ここで、CC は積分定数です。
ステップ2: 初期条件 F(1)=5F(1) = 5 を用いて積分定数 CC を求める
F(1)=5F(1) = 5 であるから、
F(1)=−3(1)3+2(1)2−(1)+C=−3+2−1+C=−2+C=5F(1) = -3(1)^3 + 2(1)^2 - (1) + C = -3 + 2 - 1 + C = -2 + C = 5
したがって、C=5+2=7C = 5 + 2 = 7 です。
ステップ3: F(x)F(x) を確定する
積分定数 C=7C = 7 を F(x)=−3x3+2x2−x+CF(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + C に代入すると、
F(x)=−3x3+2x2−x+7F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7

3. 最終的な答え

F(x)=−3x3+2x2−x+7F(x) = -3x^3 + 2x^2 - x + 7

「解析学」の関連問題

$a > 0$ とする。サイクロイド $x = a(t - \sin t)$, $y = a(1 - \cos t)$ $(0 \leq t \leq 2\pi)$ を $x$ 軸のまわりに1回転して...

回転体の表面積サイクロイド積分
2025/7/26

与えられた関数の中から、$3/(x^3+1)$の積分を計算する必要がある。

積分部分分数分解積分計算
2025/7/26

与えられた有理関数 $\frac{1}{x^3+1}$ を積分せよ。

積分有理関数部分分数分解
2025/7/26

問題は、与えられた関数を積分することです。具体的には、問題番号3の関数 $1/(x^3 + 1)$ の積分を求める必要があります。

積分部分分数分解積分計算arctan対数関数
2025/7/26

与えられた6つの関数に対して、それぞれの第$n$次導関数を求める。

導関数微分指数関数三角関数対数関数多項式
2025/7/26

与えられた関数の積分を求めます。具体的には、$\frac{1}{x^3 + 1}$ の積分を求めます。

積分部分分数分解積分計算
2025/7/26

与えられた関数を微分する問題です。 (5) $y = \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|$ (6) $y = \log \left| \tan \frac{x}{2...

微分対数関数合成関数の微分三角関数
2025/7/26

$I = \int e^{ax} \sin bx \, dx$ と $J = \int e^{ax} \cos bx \, dx$ が与えられたとき、以下の関係式を示す。 $I = \frac{1}{...

積分部分積分漸化式
2025/7/26

次の関数の導関数を求めよ。 (1) $\arcsin x + \arccos x$ (2) $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} (a \neq 0)$ (3) $\arcs...

導関数微分合成関数積の微分商の微分
2025/7/26

次の2つの関数の導関数を求めます。 (1) $arcsin(x) + arccos(x)$ (2) $\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})$ (ただし、$a \neq 0$)

導関数微分逆三角関数合成関数の微分
2025/7/26