次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-1}^1 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_1^2 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_2^3 (-6x^2 + 12x + 7)dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-1}^1 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_1^2 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_2^3 (-6x^2 + 12x + 7)dx$

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 12x + 7)dx = -6 \int x^2 dx + 12 \int x dx + 7 \int dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 12 \cdot \frac{x^2}{2} + 7x + C = -2x^3 + 6x^2 + 7x + C$

次に、定積分を計算します。定積分の性質を利用して積分区間をまとめます。

$\int_{-1}^1 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_1^2 (-6x^2 + 12x + 7)dx + \int_2^3 (-6x^2 + 12x + 7)dx = \int_{-1}^3 (-6x^2 + 12x + 7)dx$

$F(x) = -2x^3 + 6x^2 + 7x$ とおくと、

$\int_{-1}^3 (-6x^2 + 12x + 7)dx = F(3) - F(-1) = (-2(3)^3 + 6(3)^2 + 7(3)) - (-2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 7(-1)) = (-2(27) + 6(9) + 21) - (-2(-1) + 6(1) - 7) = (-54 + 54 + 21) - (2 + 6 - 7) = 21 - 1 = 20$

3. 最終的な答え

20