関数 $f(t)$ が積分 $f(t) = \int_0^2 |x-t| dx$ で定義されているとき、区間 $0 \le t \le 2$ における $f(t)$ の最大値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(t)$ が積分 $f(t) = \int_0^2 |x-t| dx$ で定義されているとき、区間 $0 \le t \le 2$ における $f(t)$ の最大値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$|x-t|$ の絶対値を外します。$0 \le x \le 2$ の範囲で、$x$ と $t$ の大小関係によって場合分けが必要です。

$x < t$ のとき $|x-t| = -(x-t) = t-x$

$x \ge t$ のとき $|x-t| = x-t$

積分範囲を $0$ から $2$ までなので、積分を分割することを考えます。

$0 \le t \le 2$ のとき、積分範囲を $0$ から $t$ までと、$t$ から $2$ までに分割します。

したがって、

$$f(t) = \int_0^t (t-x) dx + \int_t^2 (x-t) dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_0^t (t-x) dx = \left[tx - \frac{x^2}{2}\right]_0^t = t^2 - \frac{t^2}{2} = \frac{t^2}{2}$$

$$\int_t^2 (x-t) dx = \left[\frac{x^2}{2} - tx\right]_t^2 = \left(\frac{4}{2} - 2t\right) - \left(\frac{t^2}{2} - t^2\right) = 2 - 2t + \frac{t^2}{2}$$

したがって、

$$f(t) = \frac{t^2}{2} + 2 - 2t + \frac{t^2}{2} = t^2 - 2t + 2$$

次に、$f(t)$ の最大値を求めます。$f(t)$ は $t$ の2次関数なので、平方完成して頂点を求めます。

$$f(t) = (t-1)^2 + 1$$

$f(t)$ は下に凸な放物線であり、$t=1$ で最小値 $1$ をとります。区間 $0 \le t \le 2$ における最大値は、$t=0$ または $t=2$ のいずれかでとります。

$f(0) = 0^2 - 2(0) + 2 = 2$

$f(2) = 2^2 - 2(2) + 2 = 4 - 4 + 2 = 2$

区間 $0 \le t \le 2$ における $f(t)$ のグラフを考えると、頂点が $t=1$ にあり、区間の端点 $t=0$ と $t=2$ で同じ値 $2$ をとることがわかります。したがって、区間内の最大値は$2$ではなく、最大値を取るのは区間の端点ではなく、$f(t)=(t-1)^2+1$ を微分して導関数を求めます。$f'(t) = 2t - 2$

$f'(t)=0$ となるのは $t=1$ のときです。

また、$t=0$ の時、$f(0) = 2$

$t=2$ の時、$f(2) = 2$

グラフは下に凸であり、最小値は$t=1$の時に$1$になります。最大値になるのは$t=0$と$t=2$の時で、$2$になります。

3. 最終的な答え

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