次の定積分を計算する問題です。 $\int_{-2}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{-3}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{-2}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{-3}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx$

2. 解き方の手順

まず、与えられた定積分の式を変形します。積分区間の性質を利用して、積分を一つにまとめます。

$\int_{-2}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{-3}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx = \int_{-2}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx + \int_{1}^{-3}(12x^2 - 4x - 3) dx$

$\int_{-2}^{1}(12x^2 - 4x - 3) dx + \int_{1}^{-3}(12x^2 - 4x - 3) dx = \int_{-2}^{-3}(12x^2 - 4x - 3) dx$

したがって、

与式 = $-\int_{-3}^{-2}(12x^2 - 4x - 3) dx$

次に、不定積分を計算します。

$\int (12x^2 - 4x - 3) dx = 12\int x^2 dx - 4\int x dx - 3\int dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3x + C = 4x^3 - 2x^2 - 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{-3}^{-2}(12x^2 - 4x - 3) dx = [4x^3 - 2x^2 - 3x]_{-3}^{-2} = (4(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2)) - (4(-3)^3 - 2(-3)^2 - 3(-3)) = (4(-8) - 2(4) + 6) - (4(-27) - 2(9) + 9) = (-32 - 8 + 6) - (-108 - 18 + 9) = (-34) - (-117) = -34 + 117 = 83$

最後に、符号に注意して最終的な値を計算します。

与式 = $-\int_{-3}^{-2}(12x^2 - 4x - 3) dx = -83$

3. 最終的な答え

-83