導関数 $F'(x) = -6x^2 + 10x - 2$ と $F(-2) = 23$ が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

導関数 $F'(x) = -6x^2 + 10x - 2$ と $F(-2) = 23$ が与えられたとき、関数 $F(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$F'(x)$ を積分して $F(x)$ を求めます。

$F(x) = \int F'(x) dx = \int (-6x^2 + 10x - 2) dx$

$= -6 \int x^2 dx + 10 \int x dx - 2 \int dx$

$= -6 \cdot \frac{x^3}{3} + 10 \cdot \frac{x^2}{2} - 2x + C$

$= -2x^3 + 5x^2 - 2x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

次に、$F(-2) = 23$ を用いて積分定数 $C$ を決定します。

$F(-2) = -2(-2)^3 + 5(-2)^2 - 2(-2) + C = 23$

$-2(-8) + 5(4) + 4 + C = 23$

$16 + 20 + 4 + C = 23$

$40 + C = 23$

$C = 23 - 40$

$C = -17$

したがって、$F(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2x - 17$ となります。

3. 最終的な答え

$F(x) = -2x^3 + 5x^2 - 2x - 17$