定積分 $\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ から定積分 $\int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ を引いた値を求める問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ から定積分 $\int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ を引いた値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int (12x^2 - 4x - 3) dx$ を計算します。

$\int 12x^2 dx = 12 \cdot \frac{x^3}{3} = 4x^3$

$\int -4x dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$

$\int -3 dx = -3x$

よって、$\int (12x^2 - 4x - 3) dx = 4x^3 - 2x^2 - 3x + C$ となります。

次に、定積分 $\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ を計算します。

$[4x^3 - 2x^2 - 3x]_{-2}^{1} = (4(1)^3 - 2(1)^2 - 3(1)) - (4(-2)^3 - 2(-2)^2 - 3(-2)) = (4 - 2 - 3) - (4(-8) - 2(4) + 6) = -1 - (-32 - 8 + 6) = -1 - (-34) = 33$

次に、定積分 $\int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ を計算します。

$[4x^3 - 2x^2 - 3x]_{3}^{1} = (4(1)^3 - 2(1)^2 - 3(1)) - (4(3)^3 - 2(3)^2 - 3(3)) = (4 - 2 - 3) - (4(27) - 2(9) - 9) = -1 - (108 - 18 - 9) = -1 - 81 = -82$

最後に、$\int_{-2}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx - \int_{3}^{1} (12x^2 - 4x - 3) dx$ を計算します。

$33 - (-82) = 33 + 82 = 115$

3. 最終的な答え

115