定積分 $\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx$ の値を求めます。

解析学定積分積分多項式

2025/4/7

1. 問題の内容

定積分

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx

の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C

ここで

C

は積分定数です。

次に、定積分の値を計算します。

\int_{1}^{3} (3x^2 - 4x + 5) dx = [x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3}

上記の式に積分範囲の上端と下端の値を代入し、差を計算します。

[x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{3} = (3^3 - 2(3^2) + 5(3)) - (1^3 - 2(1^2) + 5(1))

= (27 - 18 + 15) - (1 - 2 + 5)

= (24) - (4)

= 20

3. 最終的な答え

20

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