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導関数 $F'(x) = -4x + 5$ と条件 $F(1) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求めます。

解析学微分積分導関数不定積分積分定数
2025/4/7

1. 問題の内容

導関数 F′(x)=−4x+5F'(x) = -4x + 5 と条件 F(1)=6F(1) = 6 を満たす関数 F(x)F(x) を求めます。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x)=∫F′(x)dx=∫(−4x+5)dxF(x) = \int F'(x) dx = \int (-4x + 5) dx
F(x)=−4∫xdx+5∫dx=−4⋅x22+5x+C=−2x2+5x+CF(x) = -4 \int x dx + 5 \int dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = -2x^2 + 5x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、F(1)=6F(1) = 6 という条件を使って、CC の値を求めます。
F(1)=−2(1)2+5(1)+C=−2+5+C=3+CF(1) = -2(1)^2 + 5(1) + C = -2 + 5 + C = 3 + C
F(1)=6F(1) = 6 なので、3+C=63 + C = 6 となります。
したがって、C=6−3=3C = 6 - 3 = 3 です。
よって、F(x)=−2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3 となります。

3. 最終的な答え

F(x)=−2x2+5x+3F(x) = -2x^2 + 5x + 3

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