三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:2に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。線分BQとCRの交点をOとするとき、BO:OQを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ACを1:2に内分し、点Rは辺ABを1:2に内分する。線分BQとCRの交点をOとするとき、BO:OQを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を用いて解く。

三角形ACRと直線BQについて、メネラウスの定理より

$$\frac{AQ}{QC} \cdot \frac{CB}{BR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

与えられた条件から、$AQ:QC=1:2$、 $AR:RB=1:2$ より $RB:AB=2:3$ なので $CB:BR=3:2$

これを代入すると

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$$

$$\frac{RO}{OA} = \frac{4}{3}$$

したがって、$AR:RO:OB=1:2$ となる．

次に、三角形ABQと直線CRについて、メネラウスの定理より

$$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$$

与えられた条件から、$AR:RB=1:2$、$AQ:QC=1:2$ より $QC:AC=2:3$ なので $BC:CQ=3:2$

これを代入すると

$$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{QO}{OB} = 1$$

$$\frac{QO}{OB} = \frac{4}{3}$$

したがって、$BO:OQ = 3:4$

3. 最終的な答え

3:4