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与えられた条件 $F'(x) = -3x^2 + 6x - 1$ と $F(2) = 6$ を満たす関数 $F(x)$ を求める問題です。

解析学積分微分関数
2025/4/7

1. 問題の内容

与えられた条件 F′(x)=−3x2+6x−1F'(x) = -3x^2 + 6x - 1 と F(2)=6F(2) = 6 を満たす関数 F(x)F(x) を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、F′(x)F'(x) を積分して F(x)F(x) を求めます。
F(x) = \int F'(x) dx = \int (-3x^2 + 6x - 1) dx
各項を積分すると、
F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + C
ここで、CC は積分定数です。
次に、与えられた条件 F(2)=6F(2) = 6 を用いて CC の値を求めます。
x=2x = 2 を F(x)F(x) に代入すると、
F(2) = -(2)^3 + 3(2)^2 - 2 + C = -8 + 12 - 2 + C = 2 + C
F(2)=6F(2) = 6 であるから、
2 + C = 6
したがって、C=4C = 4 となります。
よって、F(x)F(x) は
F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4
となります。

3. 最終的な答え

F(x)=−x3+3x2−x+4F(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 4

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