三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に内分し、点Rは辺BCを1:3に内分する。線分CRと線分AQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qは辺ABを2:3に内分し、点Rは辺BCを1:3に内分する。線分CRと線分AQの交点をOとするとき、AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形BCQと直線ARに適用する。

メネラウスの定理より、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{QA}{AB} = 1$

問題文より$BR:RC = 1:3$ および $AQ:QB = 3:2$ である。

したがって、$BR/RC = 1/3$、$QA/AB = 3/(3+2) = 3/5$ である。

これらの値を上記の式に代入すると、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{CO}{OQ} \cdot \frac{3}{5} = 1$

$\frac{CO}{OQ} = 5$

したがって、$OQ:OC = 1:5$となる。

次に、チェバの定理を三角形ABCに適用する。

チェバの定理より、

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

点Pは線分BC上の点であり、線分AP,BQ,CRは一点Oで交わる。

問題文より$AQ:QB = 3:2$ および $BR:RC = 1:3$ であるから、

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = 2$

したがって、$AP:PC = 1:2$となる。

次に、メネラウスの定理を三角形ABRと直線QCに適用する。

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

問題文より$AQ:QB = 3:2$ および $BR:RC = 1:3$ であるから、$BC:CR = (1+3):3 = 4:3$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$2 \cdot \frac{RO}{OA} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{1}{2}$

$\frac{AO}{OR} = 2$

3. 最終的な答え

AO:OR = 2:1