三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCをAQ:QB=3:2、BR:RC=1:2に内分するとき、線分AOと線分ORの比AO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q、Rがそれぞれ辺AB、BCをAQ:QB=3:2、BR:RC=1:2に内分するとき、線分AOと線分ORの比AO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くために、チェバの定理とメネラウスの定理を利用します。

まず、チェバの定理を適用します。

チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、各頂点から対辺（またはその延長）に引かれた3本の直線が1点で交わるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

が成り立つことです。ただし、点P, Q, Rはそれぞれ辺BC, CA, AB上にあるものとします。

本問では、点Oで交わる3本の直線はAR, BC, AQです。ただし、点Pは線分COがABと交わる点とします。

したがって、

$\frac{BR}{RC} \cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{CP}{PA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

$\frac{AP}{PC} = \frac{3}{4}$

次に、メネラウスの定理を適用します。

メネラウスの定理とは、三角形ABCとその辺上の3点P, Q, Rが与えられたとき、P, Q, Rが一直線上にあるための必要十分条件は、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成り立つことです。

三角形BCRと直線AOに対して、メネラウスの定理を用いると、

$\frac{BA}{AQ} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{RC}{CB} = 1$

$\frac{5}{3} \cdot \frac{QO}{OR} \cdot \frac{2}{3} = 1$

$\frac{QO}{OR} = \frac{9}{10}$

また、三角形ABRと直線COに対してメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BC}{CR} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{AQ}{QB} = 1$

$\frac{3}{2} \cdot \frac{RO}{OA} \cdot \frac{3}{2} = 1$

$\frac{RO}{OA} = \frac{4}{9}$

よって、$\frac{AO}{OR} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

9:4