三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 3:1、AR:RB = 1:2に内分するとき、CO:ORを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 3:1、AR:RB = 1:2に内分するとき、CO:ORを求めよ。

2. 解き方の手順

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{QA}{AC} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BC}{CQ} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BC}{CQ} = \frac{8}{3}$

$\frac{CQ}{BC} = \frac{3}{8}$

メネラウスの定理を三角形ABRと直線COQに適用すると、

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{RB}{BA} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{AO}{OR} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = 1$

$\frac{AO}{OR} = 6$

$AO = 6OR$

また、メネラウスの定理を三角形ACQと直線BORに適用すると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

ここで、点Oは線分BQ上にあるため、線分AB, AC, BQ, CO, AR, BR, AQ, CQの関係から計算すると、ベクトルを用いて考える方法が一般的である。

別の解法として、

$\vec{AO} = s\vec{AQ} + (1-s)\vec{AB}$

$\vec{AO} = t\vec{AR} + (1-t)\vec{AC}$

と表せることを利用して、s, tの値を求める。

$\vec{AQ} = \frac{3}{4}\vec{AC}$

$\vec{AR} = \frac{1}{3}\vec{AB}$

$\vec{AO} = \frac{3s}{4}\vec{AC} + (1-s)\vec{AB}$

$\vec{AO} = t\frac{1}{3}\vec{AB} + (1-t)\vec{AC}$

$\frac{3s}{4} = 1-t$

$1-s = \frac{t}{3}$

$s = 1 - \frac{t}{3}$

$\frac{3}{4}(1-\frac{t}{3}) = 1-t$

$\frac{3}{4} - \frac{t}{4} = 1-t$

$\frac{3}{4}t = \frac{1}{4}$

$t = \frac{1}{3}$

$\vec{AO} = \frac{1}{9}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}$

$\vec{AO} = 6\vec{OR}$

$\vec{AR} = \vec{AO} + \vec{OR}$

$\vec{OR} = \vec{AR} - \vec{AO}$

$\vec{OC} = \vec{AC} - \vec{AO} = \vec{AC} - \frac{1}{9}\vec{AB} - \frac{2}{3}\vec{AC} = -\frac{1}{9}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}$

$\vec{OR} = \frac{1}{6} \vec{AO} = \frac{1}{6} (\frac{1}{9}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AC}) = \frac{1}{54}\vec{AB} + \frac{1}{9}\vec{AC}$

$CO:OR = ||\vec{OC}||:||\vec{OR}||$

ここから比を出すのは難しい。

別解

$\vec{OA} = p \vec{OB} + q \vec{OC}$ ただし、$p+q=1$

$\frac{\vec{OA}}{AR} = \frac{\vec{OB}}{BQ} = \frac{\vec{OC}}{CR}$

$AR = \vec{AR}$

$OR$

3. 最終的な答え

5:1