平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線の交点をO、辺BCの中点をE、線分AEとBDの交点をFとする。このとき、AF:FEと△AFO:平行四辺形ABCDの比を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) AF:FEを求める。

△BEFと△DAFに着目する。

BE = ECであり、EはBCの中点なので、BE = (1/2)BC。

平行四辺形の性質よりBC = ADなので、BE = (1/2)ADとなる。

△BEFと△DAFにおいて、

∠BFE = ∠DFA（対頂角）

∠EBF = ∠ADF（平行線の錯角）

よって、△BEF∽△DAFである。相似比はBE:DA = 1:2である。

したがって、BF:FD = 1:2となる。

BDは平行四辺形ABCDの対角線なので、BO:OD = 1:1。

したがって、BF:FO:OD = 1:1:2ではない。

次に、△ABOと△EBOの面積比を考える。

△ABOの面積は平行四辺形ABCDの面積の1/4である。

△EBOの面積は△ABOの底辺BOに対する底辺の比BE/ABを考えると、BE = 1/2BC = 1/2ADなので、高さは同じなので面積比はBE/ABとなる。

△ABEの面積は平行四辺形ABCDの面積の1/4である。

△ABEにおいて、BF:FD = 1:2なので、△AFB : △AFD = 1:2となる。

したがって、△AFD = 2△AFBとなる。

△ABDの面積は平行四辺形ABCDの面積の1/2なので、△ABD = △AFB + △AFD = △AFB + 2△AFB = 3△AFB。

したがって、△AFB = (1/3)△ABD = (1/3)*(1/2)*平行四辺形ABCD = (1/6)*平行四辺形ABCD。

△ABEの面積は平行四辺形ABCDの1/4なので、AE = AB * sin∠BAE * (1/2)

ここで、△AFBと△BEFの面積比を考える。

△AFD∽△EFBなので、相似比はAD:BE = 2:1。

よって、AF:FE = 2:1となる。したがって、AF:FE = 2:1。

(2) △AFO:平行四辺形ABCDを求める。

AF:FE = 2:1より、AE = AF + FE = 2 + 1 = 3。よってAF = (2/3)AE。

また、BO = (1/2)BD。

△ABOの面積は平行四辺形ABCDの面積の1/4である。

△AFO = (AF/AE)*△AEO = (2/3) * △AEO

△AEO = (1/2)△ABE = (1/2)*(1/4)平行四辺形ABCD = (1/8)平行四辺形ABCD

したがって、△AFO = (2/3)*(1/8)平行四辺形ABCD = (1/12)平行四辺形ABCD

したがって、△AFO:平行四辺形ABCD = 1:12。

3. 最終的な答え

AF:FE = 2:1

△AFO:平行四辺形ABCD = 1:12