三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC=1:2, AR:RC=3:1の比に内分するとき、線分AOと線分OQの比AO:OQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rがそれぞれ辺BC, ACをBQ:QC=1:2, AR:RC=3:1の比に内分するとき、線分AOと線分OQの比AO:OQを求める。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理、メネラウスの定理、ベクトルのいずれかを利用して解くことができる。ここではベクトルの知識を用いて解く。

まず、$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$とおく。

点Qは線分BCを1:2に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$

点Rは線分ACを3:1に内分するので、

$\vec{AR} = \frac{3}{4} \vec{c}$

直線AR上の点をPとすると、$\vec{AP}=k\vec{AR} = \frac{3k}{4}\vec{c}$ (kは実数)とおける。

点Oは線分AQ上にあるので、AO:OQ=s:(1-s)とおくと

$\vec{AO} = s\vec{AQ} = \frac{2s}{3}\vec{b} + \frac{s}{3}\vec{c}$ (sは実数)

点Oは線分AR上にもあるので、ある実数tを用いて、

$\vec{AO} = t\vec{AR} = \frac{3t}{4}\vec{c}$と表せる。

$\vec{b}$と$\vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{2s}{3} = 0$ かつ $\frac{s}{3} = \frac{3t}{4}$が成り立つ。

$\vec{AO}$と$\vec{AR}$を比較して、$\vec{AO}=l\vec{AR}$となるような実数$l$を求めたい。

Oは線分AQ上にあるので$\vec{AO}=x\vec{AB}+y\vec{AC}$と表せる。

ここで，$x+y=1$とは限らない。

$\vec{AO} = s\vec{AQ}$と表せるので、$\vec{AO} = s(\frac{2}{3}\vec{AB} + \frac{1}{3}\vec{AC}) = \frac{2s}{3}\vec{AB} + \frac{s}{3}\vec{AC}$

$\vec{AO}$はAR上にあるので$\vec{AO}=t\vec{AR}=t\frac{3}{4}\vec{AC}=\frac{3t}{4}\vec{AC}$と表せる。

$\vec{AB}, \vec{AC}$は一次独立なので$\vec{AB}$の係数、$\vec{AC}$の係数を比較して、

$\frac{2s}{3}=0$・・・(1)

$\frac{s}{3}=\frac{3t}{4}$・・・(2)

(1)より$s=0$となってしまうので、この解法は誤り。

別の方法で解く。

メネラウスの定理を用いる。

三角形BCRにおいて直線AQを考えると、

$\frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CA}{AR} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{3}{2}$

$\frac{OB}{RO} = \frac{2}{3}$

次に三角形ABQにおいて直線RCを考えると、

$\frac{AR}{RC} \cdot \frac{CB}{BQ} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{3}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$9 \cdot \frac{QO}{OA} = 1$

$\frac{QO}{OA} = \frac{1}{9}$

$\frac{OA}{QO} = 9$

したがって、AO:OQ = 9:1

3. 最終的な答え

9:1