三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを3:1に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分する時、線分BRと線分AQの交点をOとする。このとき、BO:ORの比を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Qが辺BCを3:1に内分し、点Rが辺ACを2:1に内分する時、線分BRと線分AQの交点をOとする。このとき、BO:ORの比を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題はチェバの定理とメネラウスの定理を用いることで解くことができる。

まず、チェバの定理より、

$\frac{AR}{RC} \times \frac{CQ}{QB} \times \frac{BP}{PA} = 1$

が成り立つ。問題文より、AR:RC = 2:1, CQ:QB = 1:3なので、

$\frac{2}{1} \times \frac{1}{3} \times \frac{BP}{PA} = 1$

$\frac{BP}{PA} = \frac{3}{2}$

したがって、BP:PA = 3:2となる。

次に、三角形ARCと直線BRにおいてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{AO}{OQ} \times \frac{QB}{BC} \times \frac{CR}{RA} = 1$

$\frac{AO}{OQ} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = 1$

$\frac{AO}{OQ} = \frac{8}{3}$

したがって、AO:OQ = 8:3となる。

次に、三角形BCRと直線AQにおいてメネラウスの定理を用いると、

$\frac{BQ}{QC} \times \frac{CA}{AR} \times \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{3}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{RO}{OB} = 1$

$\frac{RO}{OB} = \frac{2}{9}$

したがって、OB:OR = 9:2となる。よって、BO:OR = 9:2

3. 最終的な答え

BO:OR = 9:2