三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:3, AR:RB = 1:2に内分するとき、線分BRと線分CQの交点をOとする。このとき、BO:OQを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、点Q, Rが辺AC, ABをそれぞれAQ:QC = 1:3, AR:RB = 1:2に内分するとき、線分BRと線分CQの交点をOとする。このとき、BO:OQを求める。

2. 解き方の手順

メネラウスの定理を三角形ACQと直線BRに適用する。

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

与えられた条件より、AR:RB = 1:2なので $\frac{AR}{RB} = \frac{1}{2}$。

AQ:QC = 1:3なので、QC:AC = 3:4より $\frac{QC}{CA} = \frac{3}{4}$。

これをメネラウスの定理の式に代入すると、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{3}{4} = 1$

$\frac{BO}{OQ} \cdot \frac{3}{8} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = \frac{8}{3}$

3. 最終的な答え

BO:OQ = 8:3