次の不定積分を求めます。ただし、$t$ は $x$ に無関係な定数とします。 $\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めます。ただし、$t$ は $x$ に無関係な定数とします。

$\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項ごとに積分します。

* $\int -6x^3 dx = -6 \int x^3 dx = -6 \cdot \frac{x^4}{4} = -\frac{3}{2}x^4$

* $\int 4x dx = 4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$

* $\int -t^2 dx = -t^2 \int 1 dx = -t^2x$

* $\int 3t dx = 3t \int 1 dx = 3tx$

したがって、不定積分は次のようになります。

$\int (-6x^3 + 4x - t^2 + 3t) dx = -\frac{3}{2}x^4 + 2x^2 - t^2x + 3tx + C$

3. 最終的な答え

$-\frac{3}{2}x^4 + 2x^2 - xt^2 + 3xt + C$ （$C$は積分定数）