次の不定積分を求めなさい。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。 $$\int (3t^2 - 8t + 2t + 8x^2) dt$$

1. 問題の内容

次の不定積分を求めなさい。ただし、$x$ は $t$ に無関係とする。

$$\int (3t^2 - 8t + 2t + 8x^2) dt$$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項ごとに積分を行います。

$$\int (3t^2 - 8t + 2t + 8x^2) dt = \int 3t^2 dt - \int 8t dt + \int 2t dt + \int 8x^2 dt$$

積分を計算します。

$$\int 3t^2 dt = t^3 + C_1$$

$$\int 8t dt = 4t^2 + C_2$$

$$\int 2t dt = t^2 + C_3$$

$$\int 8x^2 dt = 8x^2t + C_4$$

これらの結果を元の式に代入すると、

$$t^3 - 4t^2 + t^2 + 8x^2t + C$$

$$t^3 - 3t^2 + 8x^2t + C$$

3. 最終的な答え

$$t^3 - 3t^2 + 8x^2t + C$$

ここで $C$ は積分定数です。