与えられた不定積分を計算します。 $\int (-6x^2 + 8x + 2t - 3) dx$

1. 問題の内容

与えられた不定積分を計算します。

$\int (-6x^2 + 8x + 2t - 3) dx$

2. 解き方の手順

不定積分を計算するために、各項を個別に積分します。

積分公式 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ と $\int k dx = kx + C$ （$k$は定数）を利用します。

$\int -6x^2 dx = -6 \int x^2 dx = -6 \cdot \frac{x^3}{3} = -2x^3 + C_1$

$\int 8x dx = 8 \int x dx = 8 \cdot \frac{x^2}{2} = 4x^2 + C_2$

$\int (2t - 3) dx = (2t - 3) \int 1 dx = (2t - 3)x + C_3$

したがって、

$\int (-6x^2 + 8x + 2t - 3) dx = -2x^3 + 4x^2 + (2t-3)x + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$-2x^3 + 4x^2 + (2t-3)x + C$