$a, b, c$ を正の整数とする。 (1) $a^2$ を3で割った余りは0または1であることを示せ。 (2) $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b$ の少なくとも一方は3の倍数であることを示せ。

1. 問題の内容

$a, b, c$ を正の整数とする。

(1) $a^2$ を3で割った余りは0または1であることを示せ。

(2) $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b$ の少なくとも一方は3の倍数であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1)

整数 $a$ は、ある整数 $k$ を用いて、

$a = 3k$, $a = 3k + 1$, $a = 3k + 2$ のいずれかで表せる。

$a = 3k$ のとき、$a^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3(3k^2)$ となり、$a^2$ を3で割った余りは0。

$a = 3k + 1$ のとき、$a^2 = (3k + 1)^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1$ となり、$a^2$ を3で割った余りは1。

$a = 3k + 2$ のとき、$a^2 = (3k + 2)^2 = 9k^2 + 12k + 4 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$ となり、$a^2$ を3で割った余りは1。

したがって、$a^2$ を3で割った余りは0または1である。

(2)

$a$ と $b$ がともに3の倍数でないと仮定する。

このとき、(1)より、$a^2$ を3で割った余りは1、$b^2$ を3で割った余りも1である。

したがって、$a^2 + b^2$ を3で割った余りは $1+1=2$ である。

$c^2$ を3で割った余りは0または1である。

しかし、$a^2 + b^2 = c^2$ であるから、$c^2$ を3で割った余りは2でなければならない。

これは矛盾である。

したがって、$a$ と $b$ の少なくとも一方は3の倍数である。

3. 最終的な答え

(1) $a^2$ を3で割った余りは0または1である。

(2) $a^2 + b^2 = c^2$ を満たすとき、$a, b$ の少なくとも一方は3の倍数である。