関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -3x^2 + 8x + 7$ のグラフ上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

接線の方程式は、接点の座標と接線の傾きが分かれば求めることができます。

接点の座標は $(3, 4)$ で与えられています。

接線の傾きは、関数の導関数を計算し、$x = 3$ を代入することで求められます。

まず、与えられた関数の導関数を求めます。

$y = -3x^2 + 8x + 7$ の導関数 $y'$ は、

$y' = \frac{dy}{dx} = -6x + 8$

次に、接点 $x = 3$ における導関数の値を計算します。

$y'(3) = -6(3) + 8 = -18 + 8 = -10$

したがって、接線の傾きは $-10$ です。

接点の座標 $(3, 4)$ と傾き $-10$ を用いて、接線の方程式を求めます。

接線の方程式は、一般的に $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。ここで、$(x_1, y_1)$ は接点の座標、 $m$ は傾きです。

接点の座標 $(3, 4)$ と傾き $-10$ を代入すると、

$y - 4 = -10(x - 3)$

$y - 4 = -10x + 30$

$y = -10x + 34$

3. 最終的な答え

求める接線の方程式は、$y = -10x + 34$ です。