関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。もう一つの答えとして$y=10x-27$が与えられています。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2$ のグラフに点 $(2, -7)$ から引いた接線の方程式を求めます。もう一つの答えとして$y=10x-27$が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた点 $(2, -7)$ は関数 $y = x^2 - 2$ 上の点ではありません。$2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \neq -7$ だからです。

接点を $(t, t^2 - 2)$ とします。

$y = x^2 - 2$ を微分すると、

$\frac{dy}{dx} = 2x$

接点 $(t, t^2 - 2)$ における接線の傾きは $2t$ となります。

接線の方程式は、

$y - (t^2 - 2) = 2t(x - t)$

$y = 2tx - 2t^2 + t^2 - 2$

$y = 2tx - t^2 - 2$

この接線が点 $(2, -7)$ を通るので、

$-7 = 2t(2) - t^2 - 2$

$-7 = 4t - t^2 - 2$

$t^2 - 4t - 5 = 0$

$(t - 5)(t + 1) = 0$

$t = 5, -1$

$t = 5$ のとき、接点は $(5, 23)$ であり、接線の傾きは $2(5) = 10$ なので、接線の方程式は

$y - 23 = 10(x - 5)$

$y = 10x - 50 + 23$

$y = 10x - 27$

$t = -1$ のとき、接点は $(-1, -1)$ であり、接線の傾きは $2(-1) = -2$ なので、接線の方程式は

$y - (-1) = -2(x - (-1))$

$y + 1 = -2(x + 1)$

$y + 1 = -2x - 2$

$y = -2x - 3$

3. 最終的な答え

$y=-2x-3$