与えられた不定積分 $\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

不定積分の性質を利用して、各項ごとに積分を行います。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) という公式を用います。ここで、$C$ は積分定数です。

まず、各項を積分します。

$\int -10x^4 dx = -10 \int x^4 dx = -10 \cdot \frac{x^5}{5} = -2x^5$

$\int 8x^3 dx = 8 \int x^3 dx = 8 \cdot \frac{x^4}{4} = 2x^4$

$\int 2x^2 dx = 2 \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{2}{3}x^3$

$\int 5 dx = 5 \int 1 dx = 5x$

したがって、

$\int (-10x^4 + 8x^3 + 2x^2 + 5) dx = -2x^5 + 2x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 5x + C$

3. 最終的な答え

$-2x^5 + 2x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 5x + C$